Nếu muốn dùng toán học để mô tả thế giới thực, có thể bạn phải dùng số ảo!

Trong toán học có một loại số đặc biệt gọi là số ảo (Imaginary number). Số ảo là căn bậc hai của số âm. Tên của số ảo xuất phát từ tính chất trừu tượng và không trực quan của chúng, bởi trên thực tế, rất khó tìm được một đại lượng vật lý hay hình học nào có thể tương ứng với căn bậc hai của một số âm. Vì vậy, số ảo được coi là sản phẩm của trí tưởng tượng của con người thay vì là bản chất của tự nhiên.

Tuy nhiên, những con số ảo không hoàn toàn không liên quan đến thực tế. Trên thực tế, số ảo đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học và vật lý, như số phức, giải tích phức, xử lý tín hiệu, cơ học lượng tử, v.v. 

Số ảo cho phép chúng ta viết một số phương trình và công thức phức tạp bằng ngôn ngữ đơn giản cũng như mô tả một số hiện tượng và định luật nằm ngoài trải nghiệm thông thường của chúng ta. 

Cơ học lượng tử là một nhánh của vật lý mô tả thế giới vi mô, như nguyên tử, phân tử, electron, photon, v.v. Sự phát triển của cơ học lượng tử đã làm bộc lộ một số hiện tượng, định luật trái ngược với kinh nghiệm và trực giác hàng ngày của chúng ta, như nguyên lý bất định, lưỡng tính sóng-hạt, vướng víu lượng tử, v.v.. Các dự đoán của cơ học lượng tử cũng đã được kiểm chứng và ứng dụng trong rất nhiều thí nghiệm như laser, chất bán dẫn, năng lượng hạt nhân, điện toán lượng tử, v.v.

Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử là phương trình Schrödinger, mô tả sự tiến triển trạng thái của hệ lượng tử theo thời gian. Hàm sóng lượng tử trong phương trình là một hàm phức, chứa tất cả các thông tin có thể có của hệ lượng tử, như vị trí, động lượng, năng lượng, v.v. Toán tử Hamilton là toán tử mô tả năng lượng của hệ lượng tử và nó có thể là một ma trận phức tạp.

Như có thể thấy từ phương trình Schrödinger, số ảo đóng một vai trò quan trọng trong cơ học lượng tử. Nếu không có số ảo thì hàm sóng lượng tử không thể là hàm phức mà chỉ là hàm thực. Trong trường hợp này, cơ học lượng tử sẽ mất đi một số đặc điểm và kết quả quan trọng như giao thoa lượng tử, vướng víu lượng tử, định lý không nhân bản lượng tử, v.v.. Vì vậy, số ảo giúp cơ học lượng tử có thể mô tả trọn vẹn những hiện tượng và quy luật kỳ diệu của thế giới vi mô.

Mặc dù các số ảo đóng một vai trò quan trọng trong cơ học lượng tử, nhưng từ lâu đã có tranh luận về việc liệu chúng có thực sự cần thiết để mô tả thực tế hay chúng chỉ là một sự đơn giản hóa toán học. Trên thực tế, ngay cả nhà vật lý Erwin Schrödinger, một trong những người sáng lập cơ học lượng tử, cũng không thực sự chắc chắn về ý nghĩa của việc sử dụng số phức trong các phương trình của ông. Ông ấy đã viết trong một bức thư gửi cho người bạn Hendrik Lorenz của mình:

"Điều khó chịu ở đây, điều đối nghịch với thực tế, là việc sử dụng số phức. Ψ về cơ bản phải là một hàm thực".

Schrödinger đã tìm ra cách biểu diễn các phương trình chỉ bằng số thực, đồng thời cung cấp một bộ quy tắc bổ sung về cách sử dụng các phương trình, và các nhà vật lý sau này cũng làm như vậy đối với các phần khác của lý thuyết lượng tử. Tuy nhiên, do thiếu bằng chứng thực nghiệm thuyết phục để chứng minh dự đoán của các phương trình "hoàn toàn thực" này, nên một câu hỏi đã được đặt ra: Liệu các số ảo có phải là một sự đơn giản hóa có thể bỏ qua, hay lý thuyết lượng tử không có số ảo sẽ mất khả năng mô tả thực tế? 

Hiện nay, hai nghiên cứu được công bố trên tạp chí Nature và Physical Review Letters đã chứng minh Schrödinger sai. Thông qua một thí nghiệm tương đối đơn giản, họ cho thấy rằng nếu cơ học lượng tử là đúng thì số ảo là một phần cần thiết trong toán học của vũ trụ chúng ta.

Ý tưởng cốt lõi của hai nghiên cứu này là sử dụng một thí nghiệm lượng tử cổ điển, thử nghiệm Bell, để phân biệt lý thuyết lượng tử dựa trên số phức với lý thuyết lượng tử dựa trên số thực. Thử nghiệm Bell lần đầu tiên được nhà vật lý John Bell đề xuất vào năm 1964 để chứng minh sự vướng víu lượng tử.

Ý tưởng cơ bản của thử nghiệm Bell là nếu hai hạt bị vướng víu thì trạng thái của chúng sẽ phụ thuộc vào nhau và chúng sẽ có thể tác động lên nhau ngay lập tức ngay cả khi chúng ở xa nhau. Hiện tượng này vi phạm nguyên lý định xứ của Einstein, nguyên lý cho rằng các hiệu ứng vật lý không thể lan truyền nhanh hơn tốc độ ánh sáng.

Mục đích của thử nghiệm Bell là kiểm tra xem các dự đoán của cơ học lượng tử và lý thuyết biến ẩn có nhất quán hay không bằng cách đo các đại lượng vật lý nhất định của hai hạt vướng víu, chẳng hạn như spin, phân cực, v.v. Nếu kết quả thí nghiệm phù hợp với dự đoán của cơ học lượng tử thì có nghĩa là sự vướng víu lượng tử là có thật và lý thuyết biến ẩn là sai. Nếu kết quả thực nghiệm phù hợp với dự đoán của lý thuyết biến ẩn thì có nghĩa là cơ học lượng tử chưa hoàn chỉnh và lý thuyết biến ẩn là đúng.

Kể từ khi thử nghiệm Bell được đề xuất, nhiều thí nghiệm đã xác minh sự tồn tại của vướng víu lượng tử, từ đó hỗ trợ tính đúng đắn của cơ học lượng tử. Tuy nhiên, những thí nghiệm này có một số lỗ hổng tiềm ẩn, chẳng hạn như hiệu suất của máy dò, độ trễ truyền tín hiệu, bộ tạo số ngẫu nhiên, v.v., có thể ảnh hưởng đến độ tin cậy và tính công bằng của các thí nghiệm. Vì vậy, các nhà vật lý đã và đang nỗ lực thiết kế các thử nghiệm Bell chặt chẽ và hoàn hảo hơn nhằm loại bỏ những lỗ hổng này và từ đó đưa ra bằng chứng chắc chắn hơn.

Trong hai nghiên cứu gần đây, các nhà vật lý đã sử dụng một ý tưởng mới để thiết kế các thử nghiệm Bell. Thay vì sử dụng thử nghiệm Bell để phân biệt cơ học lượng tử với lý thuyết biến ẩn, họ sử dụng phép thử Bell để phân biệt lý thuyết lượng tử dựa trên số phức với lý thuyết lượng tử dựa trên số thực. Họ phát hiện ra rằng hai lý thuyết này đưa ra những dự đoán khác nhau trong những tình huống nhất định có thể đạt được bằng một thí nghiệm tương đối đơn giản.

Trong thí nghiệm này, các nhà vật lý đặt hai nguồn độc lập (mà họ gọi là S và R) giữa ba máy dò (A, B và C) trong một mạng lượng tử cơ bản. Khi đó nguồn sáng S sẽ phát ra hai hạt ánh sáng hay photon – một tới A và một tới B – ở trạng thái vướng víu. Đồng thời, nguồn sáng R cũng sẽ phát ra một photon và gửi tới C. Nếu vũ trụ được mô tả bằng cơ học lượng tử tiêu chuẩn dựa trên số phức, thì các photon tới máy dò A và C sẽ không cần phải bị vướng víu, nhưng trong lý thuyết lượng tử dựa trên số thực thì chúng cần phải bị vướng víu.

Để kiểm tra thiết lập này, các nhà nghiên cứu từ nghiên cứu thứ hai đã tiến hành một thí nghiệm trong đó họ chiếu một chùm tia laser lên một tinh thể. Tia laser truyền năng lượng cho một số nguyên tử trong tinh thể, sau đó năng lượng này được giải phóng dưới dạng các photon vướng víu. Bằng cách quan sát trạng thái của các photon đến ba máy dò, các nhà nghiên cứu phát hiện ra rằng trạng thái của các photon đến máy dò A và C không bị vướng víu, nghĩa là dữ liệu của chúng chỉ có thể được mô tả bằng lý thuyết lượng tử bằng cách sử dụng số phức.

Kết quả này có ý nghĩa trực quan; các photon cần tương tác vật lý để trở nên vướng víu, do đó các photon đi tới máy dò A và C sẽ không bị vướng víu nếu chúng được tạo ra bởi các nguồn vật lý khác nhau. Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu nhấn mạnh rằng thí nghiệm của họ chỉ loại trừ các lý thuyết từ bỏ số ảo, nếu các quy ước của cơ học lượng tử là đúng. Hầu hết các nhà khoa học đều khá chắc chắn về điều này, nhưng đây vẫn là một lưu ý quan trọng.

Kết quả của hai nghiên cứu này cho thấy vị trí và vai trò quan trọng của số ảo trong vũ trụ của chúng ta. Các số ảo không chỉ đơn giản hóa về mặt toán học mà còn cần thiết để mô tả chính xác thực tế. Số ảo cho phép chúng ta sử dụng cơ học lượng tử để giải thích và dự đoán những hiện tượng, quy luật kỳ diệu của thế giới vi mô, nếu không có số ảo chúng ta sẽ không thể hiểu được bản chất và ý nghĩa của cơ học lượng tử.

 Tham khảo: Zhihu